Монографія «Псевдорегулярні функції і узагальнені процеси відновлення» автори Булдигін В.В., Індлекофер К.-Х., Клесов О.І., Штайнебах Й.Г.

Монографія є першою у світовій літературі публікацією, у якій висвітлено прикладні задачі сучасної теорії ймовірностей та випадкових процесів (узагальнені процеси відновлення), що вивчаються за допомогою розробленого авторами нового напрямку функціонального математичного аналізу (псевдорегулярні функції). Таке поєднання практичних задач та теоретичних постановок дозволило створити нову теорію асимптотичної поведінки узагальнених процесів відновлення.
У монографії викладено результати останніх 20 років, активну роль в отриманні яких брали автори, серед яких є два представники НТУУ “КПІ”, В.В. Булдигін та О.І. Клесов, а також двоє їхніх колег з Німеччини, К.-Х. Індлекофер (університет Гіадерборн) та Й.Г. Штайнебах (університет Кельн).
Основу монографії склали 32 спільні статті авторів, опубліковані в провідних математичних журналах, які дістали визнання колег з України та з усього світу. Більшість статей опубліковано англійською мовою.
На базі монографії розроблено спеціальний курс “Спеціальні розділи теорії функцій”, який викладається магістрам VI року навчання на фізико-математичному факультеті НТУУ “КПІ”; за останні 3 роки за тематикою монографії НТУУ “КПІ” захищено 2 кандидатські дисертації та 6 магістерських дисертацій (3 кандидатські дисертації та 1 магістерська робота в Німеччині). Зараз 5 аспірантів та пошукувачів у НТУУ “КПІ” працюють над кандидатськими дисертаціями, тематика яких тісно пов’язана з тематикою монографії.
Видання монографії українською мовою рекомендовано Вченою радою НТУУ “КПІ” (протокол 3 від 5.03.2012 p.). Матеріал монографії викладено на 441 сторінках включно з предметним покажчиком, списком позначень, літературними коментарями та списку літератури, який складається з 161 першоджерел. Основний текст, викладений в 11 главах, розділено таким чином, щоб магістри та аспіранти незалежно від напрямку їхніх кандидатських досліджень (математичний аналіз, шифр 01,01.01 або теорія ймовірностей та математична статистика, шифр 01.01.05) могли ефективно оволодіти матеріалом.
У главах 1 та 2 викладено новий метод дослідження асимптотичних властивостей стохастичних систем. На конкретних прикладах показано потужність цього методу еквівалентність підсилених законів великих чисел та законів повторного логарифму для випадкових процесів та процесів відновлення. У подальших главах цей метод застосовано з успіхом до багатьох інших задач сучасної математики: від стійкості розв’язків звичайних диференціальних рівнянь відносно початкових даних та асимптотичну еквівалентність розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь до задач про баланс попиту та пропозиції у теоретичній макроекономіці.
Глави 3–7 закладають “функціональні підвалини” монографії, а решту глав присвячено застосуванню одержаних загальних результатів до прикладних задач теорії ймовірностей та випадкових процесів. У главах 3–7 узагальнено класичні результати Карамати для регулярно змінних функцій на випадок псевдорегулярних функцій, отримано характеризації таких функцій, доведено результати про рівномірну збіжність.
Главу 3 присвячено природним узагальненням правильно змінних функцій, які утворюють класи, що позначаються ORV, POV, OSV, PRV та РІ. Кожен з цих класів функцій має свої характеризаційні властивості, які використовуються у подальших застосуваннях. Розроблену спільний підхід до вивчення не тільки всіх цих класів, але і класичного класу RV. Особливу увагу приділено класу PRV, який є найбільш близьким до RV. Для PRV класу знайдено характеризацію у термінах суперпозиції асимптотично еквівалентних функцій.
У главі 4 окремо розглянуто випадок абсолютно неперервних функцій, яким раніше у літературі не приділялось належної уваги. Показано зв’язок таких функцій та індексів еластичності, які виникають у макроекономіці, а також умов балансу попиту та пропозиції. У главі 9 такі функції виникають при вивченні стохастичних диференціальних рівнянь, що описують моделі фінансової математики.
Абсолютно новим класом функцій, який вивчається у главі 5, є клас функцій, які мають невироджену групу регулярних точок. На основі загальних результатів для таких функцій отримано опис класичних областей притягнення для стійких та напівстійких законів.
Главу 6 присвячено вивченню асимптотичної поведінки інтегралів, які включають функції з невиродженою групою регулярних точок. Ці результати узагальнюють класичні теореми для правильно змінних функцій на найбільш широкий клас, що дозволяє розглядати тауберови та абелеві теореми з принципово нової точки зору.
У главі 7 викладено концепцію асимптотично квазіобернених функцій, розроблену авторами. Асимптотично квазіобернені функції замінюють у певному розумінні обернені функції, коли останні не існують (наприклад, коли відсутня неперервність або строга монотонність). Відоме у літературі поняття узагальненої оберненої функції є частковим випадком квазіоберненості. Доцільність введення нової концепції підтверджується на багатьох конкретних прикладах, які виникають у прикладних дослідженнях. Розроблений загальний підхід дозволяє однотипно вивчати різноманітні характеристики стохастичних систем від моменту першого досягнення рівня до моменту останнього перетину рівня та часу, проведеного під рівнем (щоб уявити можливі застосування таких функціоналів у техніці, достатньо інтерпретувати “рівень” як “рівень безпечних навантажень”).
Главу 8 присвячено дослідженню узагальнених процесів відновлення на базі розвинутої у главах 3–7 функціональних методів. Методи, відомі у теорії ймовірностей, дозволяють отримувати результати для процесів відновлення, які справджуються лише майже напевно. Метод, впроваджений авторами, дозволяє отримувати такі результати одночасно для двох дуальних об’єктів у кожній точці фазового простору. Крім того, цей метод дозволяє вивчати не лише функціонали типу моменту першого досягнення, але і набагато більш загальні функціонали, які мають пряме прикладне значення.
У главі 9 на базі ідей стосовно класу PRV вивчено асимптотичну поведінку розв’язків певного класу стохастичних диференціальних рівнянь. Застосування загальних результатів, отриманих у главах 3–7, дозволяє отримати еквівалентність їхньої поведінки та поведінки розв’язків звичайних диференціальних рівнянь. Результати такого сорту становлять неабиякий інтерес при вивченні моделей фінансових ринків, на яких присутні як ризиковані, так і неризиковані фінансові активи (опціони, форварди, ф’ючерси тощо).
Іншому узагальненню процесів відновлення присвячено главу 10. Це узагальнення стосується випадку “випадкових блукань з багатовимірним часом”. Такі моделі виникають при вивченні об’єктів, розподілених на площині, у просторі тощо (комп’ютерні мережі, розподіл опадів або випромінювання, розповсюдження інфекцій, рух риб у морях тощо). Новий підхід до цих питань, розроблений авторами, дозволяє вивчати асимптотичну поведінку подібних моделей за допомогою методів, представлених у главах 3–7.
У заключній главі 11 розглянуто задачу про асимптотику рядів за малим параметром. Не зважаючи на таку “абстрактну” назву, розглянута задача має на меті цілком практичну мету дослідити властивості статистичних оцінок, ефективних при обробці великих обсягів інформації. Оцінки, які мають відношення до вивчення рядів у главі 11, складаються з бінарних об’єктів, тобто представлені величинами, значеннями яких є тільки 0 та 1. Ця обставина дозволяє ефективно обчислювати оцінки, а спеціальні рекурсивні алгоритми дозволяють обробляти інформацію у реальному масштабі часу. Не зважаючи на “зменшення” інформативності даних, для оцінок вдається отримати необхідні властивості та довести їхню якість за допомогою асимптотичних результатів глав 3–7.
Матеріал монографії стане у нагоді спеціалістам з математичного аналізу та теорії ймовірностей, а також студентам відповідних спеціальностей. Особливе значення тематика монографії має для магістрів та аспірантів, оскільки напрямки, висвітлені у монографії, є актуальними та привертають постійну увагу вчених в Україні (А.М. Самойленко та А.М. Станжицький) та закордоном (A.JI. Якимів (Росія), D. Djurcic, А. Torgasev (Сербія), A. Gut (Швеція), U. Stadmuller (Німеччина), P. Doukhan (Франція), І. Katai (Угорщина), Z. Rychlik (Польща), A. Rosalsky (США), Е. Сенета (Австралія), Д. Лі (Канада)): зацікавлений читач обов’язково знайде для себе багато нових постановок, необхідних результатів та перспективних застосувань. На монографію існуює 249 посилань у Google Scholar, реферат на неї включено до бази даних MathSciNet Американського математичного товариства.
Монографію видано в 2012 році видавництвом ТВіМС, м. Київ, свідоцтво ДК 110 від 5.07.2000 р. у Державному реєстрі видавців, виготовників і розповсюджувачів видавничої продукції.
Видавництво ТВіМС є видавцем низки математичних журналів, серед яких
Теорія ймовірностей та математична статистика, ISSN 0868-6904; У світі математики, ISSN 1029-4171; Methods of Functional Analysis and Topology, ISSN 1029-3531; Обчислювальна та прикладна математика, ISSN 0868-6912, а також монографічної літератури з математики, наприклад М. П. Моклячук, Основи опуклого аналізу. Навчальний посібник, 2004; А.V. Skorokhod, Lectures on the Theory of Stochastic Processes, 1997, ISBN 90-6764-206-1; N.V. Kartashov, Strong Stable Markov Chains, 1996, ISBN 90-6764-205-3