Монографія присвячена теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів яка є новітнім розділом теорії збурень лінійних операторів що, у свою чергу, разом із спектральною теорією займає центральне місце у функціональному аналізі та математичній фізиці.
Метою цієї монографії є послідовний виклад методу оснащених гільбертових просторів, який вдосконалює і розвиває метод самоспряжених розширень симетричних операторів.
Ключовою новизною методу оснащених просторів є побудова збурених операторів безпосередньо за новими функціоналами простору стану. У свою чергу нові збурення з’являються в результаті змін внутрішнього добутку у позитивних або негативних просторах оснащення початкового простору.
Замість спроб побудови гамільтоніани звичайною процедурою, за формальною сумою операторів або її апроксимації, метод оснащених просторів використовує гамільтоніану для побудови оператора, однозначно пов’язаного з новим оснащенням гільбертовими просторами. Метрика та скалярний добуток гільбертового простору є значно гнучкішими для сингулярних змін на малих множинах, ніж урахування таких змін безпосередньо в термінах операторів.
Зміст цієї книги зосереджується на класі нетривіальних задач математичної фізики, пов’язаних з різними типами потенціалів, названих сингулярними і супер-сингулярним збуреннями. На ці теми є багато публікації як у фізичній, так і в математичній літературі. Численні результати та різноманітні методи теорії сингулярних збурень вже знайшли відображення в кількох основних монографіях С. Альбеверіо. Усі попередні видання об’єднують різноманітні підходи та методи, спрямовані на побудову сингулярно збурених операторів і дослідити їх спектри.
У монографії розроблений метод оснащених гільбертових просторів, як новий підхід у єдиній теорії сингулярних збурень. Ядро методу ґрунтується на ідеї впровадження трійки гільбертових просторів для побудови сингулярних збурень. Цей триплет відіграє роль оснащення Гельфанда- Костюченко-Березанського типу для спектральної теорії розкладу за узагальненими власними векторами. Новітній підхід у монографії є більш специфічним і поєднує області: теорії Бірмана-Крейна-Вішика самоспрядених розширень симетричних операторів, теорії сингулярних квадратичних форм і само по собі теорії оснащених гільбертових просторів.
Важливо, що конструкція нового триплету просторів за сингулярною формою працює значно гнучкіше у порівнянні зі звичайними методами самоспряжених операторів відповідних формальній сумі у єдиному просторі. Авжеж, обидва добре відомі методи форм-сум і теорії самоспряжених розширень симетричних операторів включаються у наведену конструкцію як частинні випадки. Більш за те, показано, що супер-сингулярні збурення допускають розгляд у рамках заявленого методу.
Книга є корисною для дослідників з функціонального аналізу, теорії операторів і сучасних проблем математичної фізики, аспірантів і студентів старших курсів математичних спеціальностей.